Juegos para listos (primera parte)

Voy a proponer una serie de juegos (entiéndanse acertijos, adivinanzas, etc...) durante éstos días de incansable estudio para algunos universitarios y de vacaciones para muchos otros, las soluciones las pondré al final, así que no seáis fulleros e intentad antes aseguraros de los resultados.



El caso del pastel desaparecido

En la cocina había un pastel destinado a celebrar el cumpleaños de papá, pero al llegar él del trabajo, el suculento dulce había desaparecido. En la casa estaban sus cinco hijos: Ataúlfo, Basilia, Calepodio, Desdémona y Efialtes. Mamá sabía que alguno de ellos, o tal vez varios, eran los autores del desaguisado y les interrogó a conciencia. Y estas son las respuestas que le dieron los cinco niños:
Ataúlfo– Esto es obra de uno solo de nosotros.
Basilia– No, de dos de nosotros.
Calepodio– No, de tres de nosotros.
Desdémona– No, de cuatro de nosotros.
Efialtes– Entre todos nos lo comimos.
Mamá, que lógicamente es muy lista, sabe que los inocentes dicen la verdad, mientras que los culpables mienten. ¿Quién o quiénes se comieron, entonces, el pastel?

El motorista

Un motorista hace un viaje de 20 kilómetros por una carretera de montaña. Empieza en el punto A y sube una cuesta hasta el punto B a 15 km/h, después baja hasta C a 60 km/h. Vuelve a subir hasta D a 25 km/h y sigue hasta E a 30 km/h. Las cuestas AB y CD son de la misma longitud y suman la mitad del total del recorrido, mientras que la distancia DE es el triple de larga que BC. Si el motorista arranca en el punto A a las 9:00, ¿cuándo llega por fin a B?

Los calcetines de papá hormiga

Papá hormiga va a salir de casa para buscar rica miel. Como les pasa a todas las hormigas, tiene un gran problema para encontrar sus calcetines. Pero a papá hormiga no le preocupan estas trivialidades; se dará por contento si consigue calzarse, por lo menos, cuatro calcetines iguales (por si aún no lo sabías, las hormigas tienen seis patas). Si tiene 7 juegos diferentes de calcetines, ¿de cuántas maneras distintas puede lograr llevar cuatro calcetines iguales?

SOLUCIONES:

El caso del pastel desaparecido.
Puesto que los cinco dicen cosas incompatibles, sólo caben dos posibilidades: a) Que sólo uno diga la verdad. Luego hay 4 mentirosos, y por tanto, 4 comilones. La afirmación verdadera es “Cuatro de nosotros se lo comieron”. Desdémona dice la verdad, y los restantes (los comilones) mienten. b) Que no la diga ninguno. Pero si todos mienten, los dulces no se los comió nadie: es incompatible con lo que sabe mamá.

El motorista
Lo primero es averiguar la longitud de los tramos. Sabemos que:
AB + CD = 10 km.
AB = CD = 5 km. Y que DE = 3 BC; DE + BC = 10. Por tanto: 4 BC = 10 – BC = 2,5 km, DE = 7,5 km. Y los tiempos:
Tramo AB: Longitud: 5km Velocidad:15km/h Tiempo: 20 minutos
Tramo BC: Longitud: 2,5km Velocidad:60km/h Tiempo: 2,5 minutos
Tramo CD: Longitud: 5km Velocidad:25km/h Tiempo: 12 minutos
Tramo DE: Longitud: 7,5km Velocidad:30km/h Tiempo: 15 minutos

Los calcetines de papá hormiga
Tenemos 7 juegos de calcetines de distinto color. Para que al menos 4 de 6 sean iguales, hay que considerar las probabilidades de tener los 6 calcetines del mismo color; luego, 5 iguales y uno diferente; luego, 4 iguales con otros 2 del mismo color y 4 iguales y otros 2 de diferentes colores. Hay 7 posibilidades de que todos los calcetines sean iguales. Hay 7 formas de tener 5 calcetines del mismo color y 6 posibles colores para el calcetín restante. Como el calcetín que no casa puede colocarse en cualquiera de las 6 patas, en este caso, hay 6 formas posibles de ponerse los calcetines. Por tanto, para este segundo supuesto hay
7 x 6 x 6 = 252 formas de ponerse los calcetines. En el tercer caso, hay 7 posibilidades de elegir 4 calcetines del mismo color, y 6 para los dos calcetines restantes, que son del mismo color. Suponiendo que los 6 calcetines fuesen diferentes, habría 6! (factorial de 6, o sea, 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1) formas de ponerse los calcetines, pero tenemos que dividir por 4! y 2!, puesto que los 4 calcetines iguales y los 2 restantes son indistinguibles por color. Obtenemos, para el tercer supuesto, (7 x 6 x 6!) / (4! x 2!) = 630 formas. En el último caso hay 7 formas de escoger los 4 calcetines iguales, 6 posibilidades de elegir el primer calcetín de otro color y 5 del segundo. En este caso, sólo tenemos que dividir por 4!, puesto que los 2 calcetines restantes son de distinto color. Por tanto, en el cuarto caso hay 7 x 6 x 5 x (6! / 4!) = 6.300 formas. Sumando los cuatro supuestos, papá hormiga tiene 7 + 252+ 630 + 6.300 = 7.189 formas de ponérselos.

Fuente: distintas páginas de internet